Создание инфографики «Суша»

Про математику сферического «Меркатора»

У нас еcть карта 512×512 тайлов, на которой каждый пиксель имеет уникальный шестнадцатеричный код. Делим карту на 512 строк, в строке 512 тайлов, размер строки 131 072×256 пикс., всего в строке получается 33 554 432 пикс.

Осталось рассчитать, сколько квадратных километров занимают пиксели в этих строках.

Для начала вникаем, куда проекция «Меркатора» разместила наши строки на сфере. По пути выясняем, что данные на карте «Гугла» отображаются в сферической системе координат (Spherical Mercator EPSG:900913 (EPSG:3857) and WGS84 Datum). Радиус сферы 6 378 137 м. На карте видно не всю сферу — максимальная полярная параллель 85,051 128 78°.

В проекции «Меркатора» параллели смещаются по мере удаления от нулевой параллели.

Это смещение параллелей (y) выражается формулой 1:

R=1; θ — угол параллели в радианах.

Полученная из формулы 1 величина смещения параллелей (коэффициент масштаба) переводится обратно в радианы с помощью формулы 2:

На сфере «Меркатора» масштаб сегментов карты (тайлов) градиентно уменьшается по мере удаления от экватора.

Если представить проекцию «Меркатора» в виде градиентной шкалы масштабов, эта шкала будет абсолютно линейной.

Все строки на шкале масштабов совершенно одинаковы, но тем не менее чем ближе строка к полюсу на карте, тем меньше где-то там на сфере ее масштаб. Чтобы определить диапазон шкалы масштабов, переводим угол максимальной полярной параллели в радианы 85,051 128 78° · π / 180° = 1,484 422 229 748 71 и вычисляем коэффициент ее масштаба, используя формулу 1.

1 · ln (tan(1,484 422 229 748 71 / 2 + π / 4)) = 3,141 592 653 628 9

Поскольку сфера симметрична, достаточно определить коэффициент масштаба для каждой параллели на одной половине, то есть рассчитать углы 256 строк, имеющих одинаковый размер на карте, но уменьшающихся по мере удаления от экватора на сфере. Градиент масштабов делится на любое количество сегментов, но, учитывая масштаб карты, нужно именно 256 — от экватора (y₂₅₅) до полярной параллели (y₀).

Делим градиент масштабов на 256 сегментов.

y₂₅₅ = y₀ / 256 = 0,012 271 846 3
y₂₅₄ = y₂₅₅ + y₂₅₅ = 0,024 543 692 6
y₂₅₃ = y₂₅₄ + y₂₅₅ = 0,036 815 538 9
y₂₅₂ = y₂₅₃ + y₂₅₅ = ...
y₂₅₁ = y₂₅₂ + y₂₅₅
И так далее до полярной параллели.

Используя формулу 2, переводим коэффициент масштаба каждой параллели в радианы и градусы.

θ₂₅₅ = 2 atan (exp (y₂₅₅ / 1)) – ½ π = 0,012 271 538 3 rad = 0,703 107 352 4°
θ₂₅₄ = 2 atan (exp (y₂₅₄ / 1)) – ½ π = 0,024 541 228 8 rad = 1,406 108 835 5°
θ₂₅₃ = 0,036 807 225 2 rad = 2,108 898 659 3°
и т. д.

Считаем площадь полярного сегмента, который не влез на карту.

Полярный угол (φ₀) = (90° – θ₀) · 2 = 9,897 742 44° = 0,172 748 194 1 rad
Высота полярного сегмента = Радиус сферы · (1 – cos(φ₀ / 2)) = 23,777 208 59 км
Полярная хорда = 2 · Радиус сферы · sin(φ₀ / 2) = 1 100,442 151 23 км
Площадь полюса = π · ((Полярная хорда / 2) ^ 2 + Высота полярного сегмента ^ 2) = 952 872,030 890 85 км²

Осталось рассчитать площади строк.

Находим угол (φ) пересечения параллели с радиусом сферы в радианах для каждой параллели от θ₂₅₅ до θ₀.

φ₂₅₅ = (90° – θ₂₅₅) · 2 π / 180° = 3,117 049 577 rad
φ₂₅₄ = (90° – θ₂₅₄) · 2 π / 180° = 3,092 510 195 9 rad
φ₂₅₃ = 3,067 978 203 2 rad
и т. д.

Высота полярного сегмента нам уже известна, осталось рассчитать высоту (h) строк:

h₀ = Радиус сферы · (1 – cos(φ₀ / 2)) – Высота полярного сегмента = 0,589 672 519 79 км
h₁ = Радиус сферы · (1 – cos(φ₁ / 2)) – Cумма высот предыдущих сегментов = 0,604 267 661 96 км
h₂ = Радиус сферы · (1 – cos(φ₂ / 2)) – Cумма высот предыдущих сегментов = 0,619 222 612 38 км
h₃ = 0,634 546 168 98 км
и т. д.
h₂₅₅ = Радиус сферы – Cумма высот предыдущих сегментов = 78,267 588 018 18 км

Наконец получаем площадь (S) каждой строки.

S₀ = 2 π · Радиус сферы · h₀ = 23 631,136 069 7 км²
S₁ = 2 π · Радиус сферы · h₁ = 24 216,036 635 6 км²
S₂ = 24 815,356 523 4 км²
S₃ = 25 429,448 309 54 км²
и т. д.

S₂₅₅ = 3 136 574,895 768 57 км²
S₂₅₆ = S₂₅₅
S₂₅₇ = S₂₅₄
S₂₅₈ = S₂₅₃
и т. д.
S₅₁₁ = S₀

Чтобы узнать площадь пикселя в строке, просто делим площадь строки на общее количество пикселей в ней.

Тайлы из проекции «Меркатора» в 10-м масштабе на сфере имеют форму, неприлично похожую на квадрат.

Для подсчета пикселей используем волшебный способ.

Смотрим, сколько квадратных километров занимают пиксели в строках.

Округляем значения и сравниваем полученные данные с «Википедией».

Вспоминаем историю про Йемен и домохозяйку.

В список не вошли такие территории, как Сомалийская Республика, Джубаленд, Галмудуг, Пунтленд, Маахир, Хатумо, Республика Сомалиленд, Авдаленд, Нагорно-Карабахская Республика, Луганская и Донецкая Народные Республики.

Часть IV